====== 第三章 极限 ======
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===== \(\S\)1. 序列的极限 =====
==== 1. 定义和例子 ====
  * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做**序列**。 元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项.
  * **定义 2**: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域 \(V(A)\), 存在号码 \(N\) (其选取与\(V(A)\) 相关), 使得数列的所有标号大于 \(N\)的项，包含在点 \(A\) 的这个邻域\(V(A)\) 之中，则称数 \(A \in \mathbb{R} \) 为数列 \({x_n}\) 的**极限**。
    * 流行的表述：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\), 存在号码 \(N\), 使得一切 \(n > N\), 有 \(|x_n - A| < \varepsilon \)
    * 形式化定义：\[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A)) \]  相应得有： \[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon) \] 
  * **定义 3**: 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A \), 就说数列 \({x_n}\) **收敛**于 \(A\) 或趋于 \(A\), 并记成 “当 \(n \to \infty\) 时 \(x_n \to A \) ”。
    * 有极限的序列叫做**收敛序列**，没有极限的序列叫做**发散序列**
    * 例1： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
    * 例4： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)
==== 2. 数列极限的性质 ====
  * 如果一个数列只有一个值，则叫做**常数列**
  * **定义 4**: 如果满足 \( \exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A) \), 就说 数列 \( \{x_n\}\) 为**最终常数列**
  * **定义 5**: 如果满足 \( \exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M) \), 就说数列 \( \{x_n\}\) 为**有界数列**
  * **定理 1**: a) 最终常数列可收敛.
    * b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
    * c) 数列不能有两个不同的极限.
    * d) 收敛数列并有界. 
  * **定义 6**: 

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